别人的26岁：只用业余时间，就解决了数学界几十年的难题

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日期 ： 2022年07月20日       

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来源 ：环球科学

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26岁的贾里德·杜克·利希特曼（Jared Duker Lichtman）证明了一个存在已久的素数与本原集关联的猜想。贾里德只用业余时间就完成了这项证明，连他的导师都“着实被震惊到了”。

素数，也叫质数，定义是大于1的自然数中，除了1和其自身外，无法被其他自然数整除的数。从另一个角度来看，所有大于1的非素数（合数）都是由素数相乘产生的，因此素数经常被称为数学的原子。

作为数学的原子、数论的核心，素数一直在数轴上占据着特殊的位置。今年，26岁的牛津大学博士生贾里德·杜克·利希特曼（Jared Duker Lichtman）解决了一个著名的猜想，这项工作展示了素数为什么如此特殊，甚至素数为什么在某种意义上是“最理想的数字”。

这个猜想涉及本原集（primitive sets），这是一类由大于1的整数构成的集合，在这类集合中，没有任何一个数可以整除其他数。由于素数只能被1或自身整除，显然，所有素数的集合就是一个本原集。由此继续推广，所有含相同数目质因子的数也可以构成本原集，例如所有含100个质因子的数构成的集合。

上世纪30年代，保罗·埃尔德什（Paul Erdős）在试图证明一个关于完全数（perfect number，源于古希腊）的问题时，引入了本原集这个概念作为工具。但它很快就成为数学家感兴趣的对象，而埃尔德什也在他之后的整个学术生涯里，一次又一次地使用和研究本原集。这是因为，尽管本原集的定义足够直白，却有着神秘的特征，这使它成为了数学领域里一头未知的怪兽。本原集可以有多大？这样一个简单的问题，仍无法被解答，本原集的奇妙之处由此可见一斑。

如果考虑从1到1000所有整数的集合，那么它的一半，也就是从501到1000，刚好就构成了一个无法相互整除的本原集。这种方式得到的本原集，会密集地占据一段数轴。但其他类的本原集，比如素数集，在数轴上就分布得非常稀疏。“这意味着本原集确实是一个非常广泛的类别，很难直接入手研究，”利希特曼表示。

贾里德·杜克·利希特曼（图片来源：Ruoyi Wang）

埃尔德什和

为了探索本原集的有趣特性，数学家对本原集大小的概念进行了许多研究。例如，他们可能不会去直接计算一个集合中究竟有多少数字，而是会换一个角度研究：对于集合中的每个数字n，将其代入表达式1/（n·logn）中，然后将所有的结果相加。这个相加的总和被称为“埃尔德什和”（Erdős sum），以本原集{2,3,55}为例，这个集合的大小就可以用埃尔德什和表示为1/(2*log2）+1/(3*log3）+1/(55*log55）。

埃尔德什发现，对于任意一个本原集，包括那些由无限个数字组成的集合，其埃尔德什和总是有限的。无论这个本原集是什么样的，它的埃尔德什和总是小于等于一个特定的数。因此虽然这个总和的表达看上去模糊又怪异，但在某种程度上，它使原本混乱的本原集研究有了头绪，成为一个有效的“量尺”。

而有了这个量尺，自然就有了疑问，埃尔德什和最大可能是多少呢？埃尔德什猜想，这个上限会源于素数本原集中的一个，大约是1.64。也就是说，从本原集的角度思考，素数自身就构成了一种极限。

几十年来，数学家在相关证明上取得了部分进展。例如，他们证明了对特定类型的本原集来说，该猜想成立。然而，“在贾里德开始攻克这个问题前，我们好像并没有真正触碰到素数猜想的本质，”加拿大不列颠哥伦比亚大学（University of British Columbia）的数学家格雷格·马丁（Greg Martin）说道，他一直在进行相关研究。与埃尔德什合作密切的匈牙利罗兰大学（Eötvös Loránd University）的数学家，安德拉斯·萨科齐（András Sárközy）也同意：“这个猜想的证明看起来确实遥不可及。”

不严格的新上限

2018年，在美国达特茅斯学院（Dartmouth College）读本科的最后一年，利希特曼开始了本原集猜想的研究。“这个问题一瞬间就吸引了我。像这样的猜想怎么会是真的？这真是非常神秘。”他说道，“在过去的四年里，这个问题一直与我相伴。”

2019年，利希特曼和他在达特茅斯学院的导师卡尔·帕梅朗斯（Carl Pomerance）发现，本原集的埃尔德什和可能不超过1.78左右。根据卡尔·帕梅朗斯的学生，乌得勒支大学（Utrecht University）的数学家洛拉·汤普森（Lola Thompson）所说，卡尔基本上是已经退休后又出来和利希特曼一起工作。格雷格·马丁对此结果表示：“相差的不算远，只比素数猜想大10%左右。”

为了推导出这个常数，利希特曼和帕梅朗斯构建了一个新的倍数数列。新数列是由给定的本原集中每个数所关联的倍数数列组成。还是以本原集{2,3,55}为例，与数字2关联的是所有2的倍数，也就是所有偶数构成的数列；与数字3关联的则是所有3的倍数，但要去掉所有2的倍数；与数字55（5×11）关联的是所有55的倍数，且要求其倍数的最小质因数是11（因为55的最大质因数是11），也就是说，所有可以被2、3、5、7整除的数字都不能作为55的倍数（例如55的5倍或15倍就不符合要求，但55的11倍符合要求）。利希特曼将这种方法比作字典中的单词索引，只是替代字母来排序的是素数。

他和帕梅朗斯接下来考虑的问题是，这些对应的倍数数列“密度”为何？也就是它们在数轴上占据的比例是多少？（例如，偶数数列的密度是1/2，因为它占所有自然数的一半。）他们发现，如果原始的数集为本原集，那么它的每一个数字所对应的倍数数列之间并不会有交集，因此这些倍数数列的组合总体密度只能小于等于1——所有自然数在数轴上的密度就是1。

这个发现看似离题甚远，实际上却与他们想证明的猜想密切相关。19世纪的数学家弗朗茨·梅滕斯（Franz Mertens）曾给出过一项定理，使利希特曼和帕梅朗斯能用这些密度的表示来重新解释本原集的埃尔德什和。基于梅滕斯定理，一个特殊常数（接近1.78），在与等价于倍数数列总体密度的项相乘时，便能得到本原集埃尔德什和的最大值。而这个总体密度又不能大于1，利希特曼和帕梅朗斯由此便能证明，本原集的埃尔德什和，最大也不超过约1.78。

“这项工作其实是埃尔德什原始想法的一个变体，推导出了虽不严格但也不差的上限，确实是非常简洁流畅的过程。”牛津大学的数学家詹姆斯·梅纳德（James Maynard）表示。

不业余的“业余工作”

几年来，这似乎是数学家们所能做到的最好结果。但如何将埃尔德什和的上限降至1.64，仍不明朗。与此同时，利希特曼本科毕业，奔赴牛津大学，跟随梅纳德教授攻读博士学位，主要研究一些与素数相关的问题。

“我知道他在做学校的课题研究的同时，也一直没放弃在业余时间思考这个问题，”梅纳德说道，“但当他突然间，出人意料地拿出一个完整的证明时，我还是感到无比震惊。”

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利希特曼起初意识到，对于那些含较小的质因子的数集，他早先与帕梅朗斯提出的论证仍是有效的：在这种情况下，常量1.78可以直接降至远低于1.64。

但对于那些有更大质因子的数集（其实某种程度上就“等价于”质数集），则需要另外考虑。为了解决这部分数字，利希特曼发现，对每个数，可以不只关联一个倍数数列，而可以关联多个。与之前一样，所有数列的总体密度仍不会大于1。但这种情况下，另外增添的倍数数列会像野草蔓延一般，占据数轴上一些其他的空间。

以618（2×3×103）为例，按照之前的定义，你需要将所有618的最小质因数为103的倍数组成一个数列。但利希特曼发现，也可以使用一些被排除的较小质因子来构建数列。比如，除了选择最小质因数是103的数字作为倍数外，还可以加上所有最小质因数是5的数字作为倍数。（存在选择可用的较小质因子的限制条件）

由于存在这些新增的倍数数列，就意味着与梅滕斯定理常数相乘的原始倍数数列的组合密度，实际上不会无限接近1，而一定是小于1的。利希特曼找到了一种方法，能够更精确地确定该密度的上限。

接下来，他仔细地确认了“最差情况”：当同时含有较大质因数的数字与较小质因数的数字时，本原集倍数数列的总体密度会是怎样。最终，利希特曼得以证明，最差情况下埃尔德什和的值仍小于1.64。

“这是数学的关键时刻，”梅纳德说道。“我不知道是幸运还是怎样，但利希特曼得出的数字刚刚好吻合了猜想。”

今年二月，利希特曼在ArXiv预印本网站上发表了完整的证明过程。有数学家指出，这项工作极其优秀，因为它完全依靠基础论证。“他并没有依赖那些超级计算机的发展来证明猜想，”汤普森说道。“他的思考过程非常聪明。”

如今，这项工作也巩固了素数在本原集中的特殊地位。“所有人都认为素数是特殊的，”帕梅朗斯说道。“而这项工作也再次增添了素数的光彩。”

原文链接：

https://www.quantamagazine.org/graduate-students-side-project-proves-prime-number-conjecture-20220606/#

参考论文：

https://arxiv.org/abs/2202.02384

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